समाकलन $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi} \cos ^{5} \phi \,d \phi$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi} \cos ^{5} \phi \,d \phi$ है।
$\sin \phi = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos \phi \,d \phi = dt$ प्राप्त होता है।
जब $\phi = 0$,तब $t = 0$ और जब $\phi = \frac{\pi}{2}$,तब $t = 1$ है।
चूंकि $\cos^4 \phi = (1 - \sin^2 \phi)^2 = (1 - t^2)^2$,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_{0}^{1} \sqrt{t} (1 - t^2)^2 \,dt$
$I = \int_{0}^{1} t^{\frac{1}{2}} (1 + t^4 - 2t^2) \,dt$
$I = \int_{0}^{1} (t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{9}{2}} - 2t^{\frac{5}{2}}) \,dt$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \left[ \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{t^{\frac{11}{2}}}{\frac{11}{2}} - 2 \frac{t^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} \right]_{0}^{1}$
$I = \left[ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{11} t^{\frac{11}{2}} - \frac{4}{7} t^{\frac{7}{2}} \right]_{0}^{1}$
$I = \frac{2}{3} + \frac{2}{11} - \frac{4}{7}$
लघुत्तम समापवर्त्य $(231)$ लेने पर:
$I = \frac{2(77) + 2(21) - 4(33)}{231} = \frac{154 + 42 - 132}{231} = \frac{64}{231}$.